“植树问题”教学设计

植树问题这类题目应该是小学数学中比较重要的一部分，题目从一年级一直贯彻到六年级。并且，大多数人都对这个点数与段数的理解存在很大的误区，在做题时经常会记混点数与段数的关系。我认为原因就是现有的大部分教材对植树问题的不同情况分类不合理，导致只有一小部分学生真正掌握点与段的关系。在如何教学植树问题的这个问题上，我作了如下思考。

一、现有教材关于对植树问题的分类

经常听到家长朋友问我：应该买哪本奥数在家练习比较好。我的回答是：这些书都大同小异，只要认真去学去做，做哪本都行。当然，我还是会推荐一些比较适合在家自学辅导的书。但其实，我真正想说的是，如果全部按照书上的步骤进行教学或者学习的话，收获甚微！

比如植树问题，不论是哪本教材，都把分成了4类：

1、不封闭路线两端植树。（棵数=间隔数+1）

2、不封闭路线一端植树。（棵数=间隔数）

3、不封闭路线两端不植树。（棵数=间隔数-1）

4、封闭路线植树。（点=段）

也许是因为这样分类整理，会使教学讲解更加清晰，更加方便，更加便于应试教育。在每一种分类的后面，给出了一个棵数与间隔数的公式。只要记住分类情况，以及对应公式，在做题时通过分析，判断出此题属于哪种类型的植树，就可套用公式进行计算。想法很美好，现实很残酷，10个学生，9个会搞混点数与段数的关系。这个时候，你还要批评他们：什么脑子，这也能搞混？一点生活常识都没有。

二、笔者所认为的植树问题的分类

数学讲究数形结合，知行合一，题目与题目之间沟通求联。植树问题千奇百怪，但是我们把这些题目沟通求联之后可以分4种类型。不要忘记，这4种类型都是属于植树问题的，为什么能属于植树问题？因为这些题目的本质都关于点与段的，所以属于植树问题。

你这个人好花心，好善变。不，善变的本质是不变。

所以，我觉得，植树问题分成2类即可：

1、不封闭路线植树（点永远比段多1）

2、封闭路线植树（点与段相等）

三、如何进行植树问题的教学

一般情况下，数学知识的习得要经历这几个步骤：从特殊的生活经验出发，把生活经验提炼成知识，抽象成一个一般的数学模型，再把这个一般的数学模型推广到其它生活经验中去，用于解决实际问题。

所以，按正常来说，应该先出示植树的图片。在图片中研究棵数与段数的关系。

当然，一般情况下是这么教的，但有的时候，可以不！

现在我们已经了解到了植树问题的本质是点与段。所以，首要任务是，让学生搞清楚什么叫做点，什么叫做段。

一、点数与段数概念的教学，建立点与段的数学模型。

1、出示一条线段

红色部分为段，黑色部分为点，共5点，4段。

2、请你自己照样子画一条线段，说一说你画的线段有几点几段。

3、所有的线段都是点数比段数多1吗？

由学生自己归纳总结出：点数永远比段数多1

二、生活模型与数学模型的对应训练

例题1：

一条400米的公路两边，每隔4米植一棵树，共植树多少课？

解题思路：根据题意画出示意图，树为点，间隔4米为段，每一个点都会种上一棵树。400除以4等于100（段）——400里面有几个4。4米为一段，100个4就是100段。因为点数永远比段数多1，所以100+1=101棵。最后因为是公路两边，另一边也有101棵，一共就是202棵。

例题2:

在相距120米的两楼之间，每隔12米栽一棵树，共要栽多少棵？

解题思路：

先根据题意画出示意图

与数学模型建立联系，图中的楼与树都是点，间隔为段。

120÷12=10（段） 120米里面有10个12米。12米为一段。有10段。

点数永远比段数多1，因此有11个点。

根据题意，首尾两点代表的是楼，不是树。所以要栽11-2=9（棵）。

例题3：

有2根木料，打算把每根据成3段，每锯开一处需要2分钟，全部锯开需要多少时间？

根据题意画出示意图：

分析：木料对应数学模型，也有4点3段，只是首尾两点不用锯。

解题步骤：

根据点永远比段多1，3段+1=4（点）

首尾两点不用锯，4点-2=2（锯的次数）

每锯一次需要2分钟，2×2=4（一根木料需要的时间）

有2根木料：2×4=8（分）

除了这三道例题之外，还有楼层问题，等差数列，都是属于点与段之间的问题。这些所有的题目，反映的都是不封闭路线中，点数比段数多1的问题。抓牢题目与数学模型之间的联系，点数比段数多1的真理永不变，结合具体情境判断出哪些是点，哪些点要算，哪些点不算。

我认为，这样学生对点与段的理解才是加入自己思考的，错误率也会大大减少，老师再也不担心我把公式记混了。不论是两端植树，两端不植树，还是一段植树，本质都是一样的。

下期写用点与段如何学习等差数列

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